Svar:
Den konvergerer helt.
Forklaring:
Bruk testen for absolutt konvergens. Hvis vi tar absolutt verdien av vilkårene, får vi serien
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Dette er en geometrisk serie fellesforhold #1/4#. Dermed er det konvergerer. Siden begge # | A_n | # konvergerer # A_n # Konvergerer absolutt.
Forhåpentligvis hjelper dette!
Svar:
# "Det er en enkel geometrisk serie og den konvergerer absolutt med" # # "sum" = 16/5 = 3,2. "#
Forklaring:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", forutsatt at | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Ta" a = -1/4 ", da har vi" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Nå er serien vår fire ganger så mye som den første termen er 4." #
# "Så vår serie" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Svar:
Den geometriske serien konvergerer absolutt med
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Forklaring:
Denne serien er definitivt en vekslende serie; men det ser også geometrisk ut.
Hvis vi kan bestemme det fellesforholdet som deles av alle vilkårene, vil serien være i skjemaet
#sum_ (n = 0) ^ OOA (r) ^ n #
Hvor #en# er den første sikt og # R # er fellesforholdet.
Vi må finne summeringen ved hjelp av formatet ovenfor.
Del hvert begrep med begrepet før det for å bestemme det felles forholdet # R #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Således er denne serien geometrisk, med det felles forholdet # R = -1/4 #, og den første sikt # A = 4. #
Vi kan skrive serien som
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Husk at en geometrisk serie #sum_ (n = 0) ^ OOA (r) ^ n # konvergerer til # A / (1-R) # hvis # | R | <1 #. Så, hvis det konvergerer, kan vi også finne sin eksakte verdi.
Her, # | R | = | 1/4 | = fjerdedel <1 #, så serien konvergerer:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
La oss nå avgjøre om det konvergerer helt.
# A_n = 4 (-1/4) ^ n #
Strip ut det alternerende negative uttrykket:
# A_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Ta absoluttverdien, slik at det vekslende negative termen forsvinner:
# | A_n | = 4 (1/4) ^ n #
Og dermed, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Vi ser # | R | = kvart <1 #, så vi har fortsatt konvergens:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * av 4/3 = 16/3 #
Serien konvergerer absolutt med
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
