Hvorfor trenger du å finne den trigonometriske formen av et komplekst tall?

Avhengig av hva du trenger å gjøre med dine komplekse tall, kan den trigonometriske formen være veldig nyttig eller veldig tøff.

For eksempel, la # Z_1 = 1 + i #, # Z_2 = sqrt (3) + i # og # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

La oss beregne de to trigonometriske skjemaene:

# Theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # og # Rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# Theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # og # Rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # og # Rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Så de trigonometriske former er:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + jeg synd (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Addisjon

La oss si at du vil beregne # Z_1 + z_2 + z_3 #. Hvis du bruker algebraisk form, får du det

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Ganske lett. Prøv nå med den trigonometriske formen …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 2/3 pi) + jeg synd (2/3 pi)) #

det viser seg at den korteste måten å legge til disse to uttrykkene er å løse cosines og sines, noe som betyr … å vende seg til algebraisk form!

Den algebraiske formen er ofte den beste formen å velge ved å legge til komplekse tall.

multiplikasjon

Nå prøver vi å beregne # Z_1 * z_2 * z_3 #. Bruk av algebraiske skjemaer krever mange irriterende beregninger. Men å løse dette produktet med trigonometriske former er enklere:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 2/3 pi) + i synd (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i synd (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Ingrediensene for å bevise at den andre likestillingen holder kommer fra trigonometri: de to tilleggsformler

#sin (alfa + beta) = synd (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alfa) #

#cos (alfa + beta) = cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) #

Multiplikasjon av komplekse tall er enda renere (men konseptuelt ikke lettere) i eksponentiell form.

På en eller annen måte er den trigonometriske formen en slags mellomrom mellom algebraisk og eksponentiell form. Den trigonometriske formen er måten å bytte mellom disse to. I denne forstand er det en slags "ordbok" å "oversette" skjemaer.