En trekant har hjørner A, B og C plassert henholdsvis (3, 5), (2, 9) og (4, 8). Hva er endpoengene og lengden på høyden som går gjennom hjørnet C?

Svar:

endepunkter #(4,8)# og #(40/17, 129/17) # og lengde # 7 / sqrt {17} #.

Forklaring:

Jeg er tilsynelatende en ekspert på å svare på to år gamle spørsmål. La oss fortsette.

Høyden gjennom C er vinkelrett på AB gjennom C.

Det er noen måter å gjøre dette på. Vi kan beregne bakken på AB som #-4,# så er det vinkelrettes helling #1/4# og vi kan finne møtet av vinkelrett gjennom C og linjen gjennom A og B. La oss prøve en annen måte.

La oss kalle foten til det vinkelrette #F (x, y) #. Vi kjenner punktproduktet til retningsvektoren CF med retningsvektoren AB er null hvis de er vinkelrette:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Det er en ligning. Den andre ligningen sier #F (x, y) # er på linjen gjennom A og B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

De møtes når

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

Lengden CF i høyden er

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

La oss sjekke dette ved å beregne området ved hjelp av skoformelen og deretter løse for høyden. A (3,5) B (2,9) C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #