Radien til to konsentriske sirkler er 16 cm og 10 cm. AB er en diameter på den større sirkelen. BD er tangent til den mindre sirkelen som berører den ved D. Hva er lengden på AD?

Svar:

#bar (AD) = 23,5797 #

Forklaring:

Vedta opprinnelsen #(0,0)# som felles senter for # C_i # og # C_e # og ringer # R_i = 10 # og # R_e = 16 # tangentpunktet # P_0 = (x_0, y_0) # er i krysset #C_i nn C_0 # hvor

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = R_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

her # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Løsning for #C_i nn C_0 # vi har

# {(X ^ 2 + y ^ 2 = R_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-R_i ^ 2):} #

Subtraherer den første fra den andre ligningen

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-R_i ^ 2-R_i ^ 2 # så

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # og # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Endelig er den søkte avstanden

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

eller

#bar (AD) = 23,5797 #

Forklaring:

Hvis #bar (BD) # er tangent til # C_i # deretter #hat (ODB) = pi / 2 # så vi kan bruke pythagoras:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # bestemme # R_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Poenget # D # koordinater, kalt # (X_0, y_0) # bør oppnås før du beregner den søkte avstanden #bar (AD) #

Det er mange måter å gjøre det på. En alternativ metode er

# Y_0 = bar (BD) sin (lue (OBD)) # men #sin (lue (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

deretter

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # og

# X_0 = sqrt (R_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Per gitt data er figuren ovenfor tegnet.

O er felles senter for to konsentriske sirkler

#AB -> "diameteren til den større sirkelen" #

# AO = OB -> "radius av større sirkel" = 16 cm #

#DO -> "radius av mindre sirkel" = 10cm #

#BD -> "tangent til den mindre sirkelen" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

La # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

I #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Bruk av cosinus lov i # Delte ADO # vi får

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #