Hvordan finner du binomial utvidelsen for (2x + 3) ^ 3?

Svar:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Forklaring:

Med Pascals trekant er det lett å finne hver binomial ekspansjon:

Hver term, av denne trekanten, er resultatet av summen av to termer på topplinjen. (eksempel i rødt)

#1#

#1. 1#

#color (blå) (1. 2. 1) #

#1. farge (rød) 3. farge (rød) 3. 1#

#1. 4. farge (rød) 6. 4. 1 #

…

Mer, hver linje har informasjon om en binomial ekspansjon:

Den første linjen, for kraften #0#

Den andre, for kraften #1#

Den tredje, for kraften #2#…

For eksempel: # (A + b) ^ 2 # Vi vil bruke den tredje linjen i blått etter denne utvidelsen:

# (a + b) ^ 2 = farge (blå) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + farge (blå) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + farge (blå) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Deretter: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Til makten #3#:

# (a + b) ^ 3 = farge (grønn) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + farge (grønn) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + farge (grønn) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + farge (grønn) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Deretter # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Så her har vi #COLOR (red) (a = 2x) # og #COLOR (blå) (b = 3) #:

Og # (2x + 3) ^ 3 = farge (rød) (2x)) ^ 3 + 3 * farge (rød) (2x)) ^ 2 * Farge (blå) 3 + 3 * Farge (rød))) * Farge (blå) 3 ^ 2 + Farge (Blå) 3 ^ 3 #

Derfor: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Svar:

# (2x + 3) ^ 3 = 8 x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54X + 27 #

Forklaring:

# (2x + 3) ^ 3 #

Bruk kuben til en summetode, der # (A + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3AB ^ 2 + b ^ 3 #.

# A = 2x; # # B = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 * 2 x ^ 2 * 3) + (3 * 2 x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4 x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54X + 27 #