Fru Fox spurte at klassen er summen av 4,2 og kvadratroten av 2 rasjonelle eller irrasjonelle? Patrick svarte at summen ville være irrasjonell. Angi om Patrick er riktig eller feil. Rettferdiggjør begrunnelsen.

Svar:

Summen # 4.2 + sqrt2 # er irrasjonell; den arver den aldri repeterende desimalekspansjonsegenskapen til #sqrt 2 #.

Forklaring:

en irrasjonelt nummer er et tall som ikke kan uttrykkes som et forhold på to heltall. Hvis et tall er irrasjonelt, fortsetter dens desimalutvidelse for alltid uten et mønster, og omvendt.

Vi vet det allerede #sqrt 2 # er irrasjonell. Dess desimalutvidelse begynner:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Nummeret #4.2# er rasjonell; det kan uttrykkes som #42/10.# Når vi legger til 4,2 til desimalt utvidelse av #sqrt 2 #, vi får:

#sqrt 2 + 4.2 = farge (hvit) + 1.414213562373095 … #

#color (hvit) (sqrt 2) farge (hvit) + farge (hvit) (4.2 =) + 4,2 #

#color (hvit) (sqrt 2) farge (hvit) + farge (hvit) (4.2 =) bar (farge (hvit) (+) 5.614213562373095 …) #

Det er lett å se at denne summen heller ikke avslutter eller har et repeterende mønster, så det er også irrasjonelt.

Generelt vil summen av et rasjonelt tall og et irrasjonsnummer alltid være irrasjonelt; Argumentet ligner på ovenfor.

Svar:

#COLOR (blå) ("riktig") #

Forklaring:

Hvis vi begynner med å si summen er rasjonell: Alle rasjonelle tall kan skrives som kvoten av to heltall # A / bcolor (hvit) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

Som nr 21 / 5+ sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Produktet av to heltall er et heltall:

Forskjellen mellom to heltall er et heltall:

Så:

# 5a-21b # er et heltall.

# 5b # er et heltall.

Derfor:

# (5a-21b) / (5b) # er rasjonell.

Men det vet vi #sqrt (2) # er irrasjonell, så dette er en motsetning fra vår antagelse at summen var rasjonell, derfor er summen av et irrasjonelt tall og et rasjonelt tall alltid irrasjonelt.