Bevis: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Å bevise # 3cos ^ 1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

La # cos ^ -1x = theta #

# => X = costheta #

Nå # LHS = 3theta #

# = Cos ^ -1cos (3theta) #

# = Cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = Cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Vise fram

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Noen ganger er trig mindre om å gjøre matte og mer om å gjenkjenne matte når vi ser det. Her gjenkjenner vi # 4x ^ 3 -3x # som cosinus trippel vinkel formel, # cos (3 theta) # når # x = cos theta #.

factoid: # 4x ^ 3-3x # er også kalt # T_3 (x) #, den tredje Chebyshev Polynomial av den første typen. Generelt, # cos (nx) = T_n (cos x). #

Vi antar # ARccOS # refererer til hovedverdien. Jeg foretrekker å ringe rektor #text {Arc} tekst {cos} # men det er vanskeligere å skrive.

Nok bakgrunn. Når vi har anerkjent trippelformelen, er beviset enkelt.

Bevis:

La #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #