Hva er domenet og rekkevidden av y = 4 / (x ^ 2-1)?

Svar:

Domene: # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #

Område: # (- oo, -4 uu (0, oo) #

Forklaring:

Best forklart gjennom grafen.

graf {4 / (x ^ 2-1) -5, 5, -10, 10}

Vi kan se at for domenet begynner grafen ved negativ uendelighet. Det treffer da en vertikal asymptote ved x = -1.

Det er fancy matte-snakk for grafen er ikke definert ved x = -1, fordi på den verdien vi har #4/((-1)^2-1)# som tilsvarer #4/(1-1)# eller #4/0#.

Siden du ikke kan dele med null, kan du ikke ha et poeng på x = -1, så vi holder det ut av domenet (husk at domenet til en funksjon er samlingen av alle x-verdiene som produserer en y-verdi).

Da, mellom -1 og 1, er alt bra, så vi må inkludere det i domenet.

Ting begynner å bli funky på x = 1 igjen. En gang til, når du plugger inn 1 for x, blir resultatet #4/0# så vi må utelukke det fra domenet.

For å oppsummere er funksjonsdomenet fra negativ uendelighet til -1, deretter fra -1 til 1, og deretter til uendelig. Den matte måten å uttrykke det er på # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #.

Området følger den samme ideen: det er settet av alle y-verdiene av funksjonen. Vi kan se fra grafen at fra negativ uendelighet til -4, alt er bra.

Så begynner tingene å gå sydover. Ved y = -4, x = 0; men da, hvis du prøver y = -3, vil du ikke få en x. Se:

# -3 = 4 / (x ^ 2-1) #

# -3 (x ^ 2-1) = 4 #

# x ^ 2-1 = -4 / 3 #

# x ^ 2 = -4 / 3 + 1 = -1 / 3 #

#x = sqrt (-1/3) #

Det er ikke noe som kvadratroten til et negativt tall. Det er å si noen tall kvadrert like #-1/3#, som er umulig fordi kvadrering av et nummer alltid har et positivt resultat.

Det betyr #Y = "-" 3 # er udefinert og er ikke en del av vårt sortiment. Det samme gjelder for alle y-verdier mellom 4 og 0.

Fra 0 ovenfor er alt bra hele vei til uendelig. Vårt utvalg er da negativ uendelighet til -4, deretter 0 til uendelig; i matematiske termer, # (- oo, -4 uu (0, oo) #.

Generelt, for å finne domenen og området, må du lete etter steder der ting er mistenkelige. Det innebærer vanligvis ting som å dele med null, ta kvadratroten til et negativt tall, etc.

Når du finner et poeng som dette, fjern det fra domenet / området og bygg opp intervallnotasjonen din.