Svar:
Løsning: # (x ~~ 106,26 ^ 0, x ~~ -106,26 ^ 0) #
Forklaring:
# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # eller
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # eller
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # eller
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # eller
# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. # Enten
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 eller (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # eller
# cos (x / 2)! = 5/4 # siden rekkevidde av #cos x # er #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # eller
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53,13 ^ 0 #
Også #cos (-53.13) ~~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~ ~ 106,26 ^ 0 #
og # x = (-53,13) * 2 ~~ -106,26 ^ 0 #
Løsning: # (x ~~ 106,26 ^ 0, x ~~ -106,26 ^ 0) # Ans
Svar:
# x = arccos (-7/25) + 4 pi k quad # heltall # K #
Forklaring:
La oss begynne med å erstatte # y = x / 2 # å kvitte seg med brøkdelene.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
Den favoriserte formen av cosinus doble vinkels formel er
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #
erstatte, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
Det er en smerte å faktor, men et lite søk kommer opp
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 eller cos y = -5 / 4 #
Vi kan ignorere det utenfor rekkevidde-cosinus.
#cos y = 3/5 #
Vi kan bruke dobbeltvinkelformelen:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7/25) #
Det er en Pythagorean Triple #7^2+24^2=25^2# så vi kan prøve å skrive det som # arctan (pm 24/7) # men det er mer fremmede røtter.
# x = arccos (-7/25) + 2 pi k quad # heltall # K #
Kryss av:
Vi sjekker et par med en kalkulator.
# x = tekst {Arc} tekst {cos} (- 7/25) ca 106.260205 ^ sirk #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 ganger 10 ^ {- 8} quad sqrt #
La oss legge til 360 og sjekk igjen:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15,6 quad # Fungerer ikke.
På grunn av halvvinkelen, synes det riktige svaret å være
# x = arccos (-7/25) + 4 pi k quad # heltall # K #
