Hva er integralet av e ^ (x ^ 3)?

Du kan ikke uttrykke dette integralet når det gjelder elementære funksjoner.

Avhengig av hva du trenger integrasjonen for, kan du velge en måte å integrere eller en annen på.

Integrasjon via strømserier

Husk det # E ^ x # er analytisk på #mathbb {R} #, så #forall x i mathbb {R} # Følgende likestilling gjelder

# E ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ Infty} x ^ n / n {!} #

og dette betyr det

# E ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ Infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = Sum_ {n = 0} ^ {+ Infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Nå kan du integrere:

dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) Infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integrasjon via den ufullstendige gamma-funksjonen

Først, erstatning # T = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Funksjonen # E ^ {x ^ 3} # er kontinuerlig. Dette betyr at dets primitive funksjoner er #F: mathbb {R} til mathbb {R} # slik at

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

og dette er godt definert fordi funksjonen #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # er slik at for #t til 0 # det holder #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, slik at feilaktig integral # int_0 ^ s f (t) dt # er endelig (jeg ringer # s = -y ^ 3 #).

Så du har det

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s (t) dt #

Legg merke til det #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Dette betyr at for #t til + infty # vi får det #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, så det # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Så følger feilaktig integral av #f (t) # er endelig:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3).

Vi kan skrive:

(int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

det er

# t e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Til slutt får vi

(1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #