Bevis følgende?

Svar:

Sjekk nedenfor.

Forklaring:

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2-1) dx> 0 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (1) dx # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> x _1 ^ 2 # #<=># #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 2-1 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 #

Vi må bevise det

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 #

Vurder en funksjon #f (x) = e ^ x-lnx #, #X> 0 #

Fra grafen til # C_f # vi kan legge merke til det for #X> 0 #

vi har # E ^ x-lnx> 2 #

Forklaring:

#f (x) = e ^ x-lnx #, # X ##i##1/2,1#

#f '(x) = e ^ x-1 / x #

#f '(1/2) = sqrte-2 <0 #

#f '(1) = e-1> 0 #

Ifølge Bolzano (Intermediate Value) -etningen har vi #f '(x_0) = 0 # #<=># # E ^ (x_0) -1 / x_0 = 0 # #<=>#

# E ^ (x_0) = 1 / x_0 # #<=># # X_0 = -lnx_0 #

Den vertikale avstanden er mellom # E ^ x # og # LNX # er minimum når #f (x_0) = e ^ (x_0) -lnx_0 = x_0 + 1 / x_0 #

Vi må vise det #f (x)> 2 #, # AAX ##>0#

#f (x)> 2 # #<=># # X_0 + 1 / x_0> 2 # #<=>#

# X_0 ^ 2-2x_0 + 1> 0 # #<=># # (X_0-1) ^ 2> 0 # #-># sant for #X> 0 #

graf {e ^ x-lnx -6,96, 7,09, -1,6, 5,42}

# (E ^ x-lnx) / x ^ 2> 2 / x ^ 2 #

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (2 / x ^ 2) dx # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> - 2 / x _1 ^ 2 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> ##-1+2# #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 # #<=>#

# Int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2-1) dx> 0 #