Hva er komplekse tall? Thanx.

Komplekse tall er tall i skjemaet # A + bi # hvor #en# og # B # er ekte tall og #Jeg# er definert som # I = sqrt (-1) #.

(Ovenstående er en grunnleggende definisjon av komplekse tall. Les videre for litt mer om dem.)

Mye som hvordan vi angir settet av ekte tall som # RR #, vi betegner settet med komplekse tall som # CC #. Merk at alle ekte tall også er komplekse tall, som alle ekte tall # X # kan være skrevet som # X + 0i #.

Gitt et komplekst tall # Z = a + bi #, sier vi det #en# er den ekte del av det komplekse tallet (betegnet # "Re" (z) #) og # B # er den imaginær del av det komplekse tallet (betegnet # "Im" (z) #).

Utføre operasjoner med komplekse tall ligner på å utføre operasjoner på binomials. Gitt to komplekse tall # z_1 = a_1 + b_1i # og # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) jeg #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) jeg #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (huske # I = sqrt (-1) #)

# = (A_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((A_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((A_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) jeg #

For divisjon brukte vi det faktum at # (A + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Gitt et komplekst tall # Z = a + bi # vi ringer # A-bi # de komplekst konjugat av # Z # og betegne det #bar (z) # Det er en nyttig egenskap som vist ovenfor #zbar (z) # er alltid et reelt tall.

De komplekse tallene har mange nyttige applikasjoner og attributter, men en som ofte møtes tidlig, er deres bruk i factoring-polynomene. Hvis vi begrenser oss til bare ekte tall, et polynom som # X ^ 2 + 1 # kan ikke bli fakturert videre, men hvis vi tillater komplekse tall, så har vi # X ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

Faktisk, hvis vi tillater komplekse tall, da noen enkeltvariabel polynom av grad # N # kan skrives som produkt av # N # lineære faktorer (muligens med noen som er de samme). Dette resultatet er kjent som grunnleggende teorem av algebra, og, som navnet antyder, er svært viktig for algebra og har bred anvendelse.