Integrer lnx / 10 ^ x?

Svar:

feil

Forklaring:

# int (lnx) / 10 ^ XDX # kan også skrives som # int (lnx) xx10 ^ (- x) dx #.

Nå kan vi bruke formelen for integral av produktet

# Intu * v * dx = u * v-int (v * du) #, hvor # U = lnx #

Som sådan har vi # Du = (1 / x) dx # og la # Dv = x ^ (- 10) dx # eller # V = x ^ (- 9) / - 9 #

Derfor # Intu * v * dx = (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) -int (x ^ (- 9) / - 9) * dx / x #, eller

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) intx ^ (- 10) * dx #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) x ^ (- 9) / (- 9) + c #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) - (åttiendel) x ^ (- 9) + c #

= # -1/81 (x ^ (- 9)) (9lnx + 1) + c #

Svar:

Vises uendelig serie integrert for meg.

Forklaring:

Vi kan bruke formelen for integral av produkt av to funksjoner #u (x) og v (x) #

# intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu #

(regelen kan enkelt utledes ved å integrere produktregelen for differensiering)

Gitt integral #intln (x) // 10 ^ xcdotdx # kan skrives som

#intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx #

La # u = ln (x) og dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

fra første antagelse # du = 1 / x cdotdx #

fra den andre likestillingen # v = int10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 ^ -x + C #

Vi får #intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx = ln (x) cdot (-1 / ln 1010 ^ -x + C) -int (-1 / ln 1010 ^ -x + C) cdot 1 / xcdot dx #

Hvor # C # er en konstant integrasjon.

# = ln (x) cdot (-1 / ln 1010 ^ -x + C) + intl / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-intCcdot 1 / xcdot dx #

# = ln (x) cdot (-1 / ln 1010 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-ccdot ln | x | + C_2, #forenkle

# = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x) + 1 / ln 10 int10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx + C_2 #

Det reduserer for å finne integralet av # intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx #

Igjen å bruke ovenstående integral av delformel

La # U = x ^ -1 # og # dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

# du = -x ^ -2cdot dx # og vi har allerede verdien for # V #

# intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx = x ^ -1cdot (-1 / ln 1010 ^ -x + C) -int (-1 / ln 1010 ^ -x + C) cdot (-x ^ -2cdot dx) #

1. Inspeksjon avslører det viser seg å være å finne #int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx # og så videre.
2. Funksjon #ln (x) # er bare definert for #X> 0 #
3. Integreret ser ut til å være uendelig serieintegrert.

Svar:

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln (ln_10 y) -1) #

Sett deretter inn # 10 ^ x # til #y #

# (ln 10 ^ x) (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

Forklaring:

La # Y = 10 ^ x #

# LNY = ln10 ^ x #

# LNY = x * ln10 #

# x = lny / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y #

#:. dx = log_10exx1 / yxxdy #

#int (ln (ln_10 y)) / yxxlog_10exx1 / yxxdy #

# = int (ln (ln_10 y)) / y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln (ln_10 y) = ln (l / ln10 * lny), dv = 1 / y #

# 1 = 1 / (ln / ln10) * 1 / (yln10) = (ln10 / lny) (l / (yln10)) = l / (ylny)

# V = LNY #

# uv-intvdu -> (ln (ln_10 y)) lny-intlny * 1 / (ylny) #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - int1 / y #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln_10 y-1) #

Sett deretter inn # 10 ^ x # til #y #

# ln 10 ^ x (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

#BEVIS:#

# d / dy ((lny) (ln (ln_10 y) -1)) #

# f = lny, g = ln (ln_10 y) -1) #

# f '= 1 / y, g' = (l / ln10y) (l / (yln10)) #

# Fg '+ gf' #---> produktregel

# lny * (l / ln10y) (l / (yln10)) + (ln (ln10y) -1) * l / y #

(ln / ln10)) + (ln (ln10y) -1) * l / y #

# lny (ln10 / lny) (l / (yln10)) + (ln (ln10y) -1) * l / y #

# 1 / y + (ln (ln_10 y) -1) / y #

# ((1 + ln (ln_10 y) -1)) / y #

# (Ln (ln_10y)) / y #

#ln (x) / 10 ^ x #---># ln_10 y = x # ovenfra