Hva er integralet av sqrt (9-x ^ 2)?

Når jeg ser denne typen funksjoner, gjenkjenner jeg (ved å praktisere mye) at du bør bruke en spesiell substitusjon her:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Dette kan se ut som en merkelig substitusjon, men du skal se hvorfor vi gjør dette.

#dx = 3cos (u) du #

Erstatt everyhting i integralet:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Vi kan bringe 3 ut av integralet:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Du kan faktor 9 ut:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Vi kjenner identiteten: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Hvis vi løser for # Cosx #, vi får:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Dette er akkurat det vi ser i integralet, så vi kan erstatte det:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Du kan kanskje kjenne denne som en grunnleggende antiderivativ, men hvis du ikke gjør det, kan du finne ut det slik:

Vi bruker identiteten: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (du kan jobbe med dette ved å bytte ut)

# 9/2 u + 9/4 synd (2u) + C #

Nå er alt vi trenger å gjøre satt # U # inn i funksjonen. La oss se tilbake på hvordan vi definerte det:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = synd (u) #

Å få # U # ut av dette må du ta den inverse funksjonen til #synd# på begge sider er dette # Arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Nå må vi sette den inn i vår løsning:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 synd (2arcsin (x / 3)) + C #

Dette er den endelige løsningen.