Hva er orthocenteret til en trekant med hjørner på (2, 6), (9, 1) og (5, 3) #?

Svar:

Orthocenteret er #(-10,-18)#

Forklaring:

Orthocenteret av en trekant er skjæringspunktet mellom de tre høyder av trekanten.

Hellingen av linjesegmentet fra punkt #(2,6)# til #(9,1) # er:

# m_1 = (1-6) / (9-2) #

# m_1 = -5 / 7 #

Hellingen av høyden trukket gjennom dette linjesegmentet vil være vinkelrett, noe som betyr at den vinkelrette helling vil være:

# p_1 = -1 / m_1 #

# p_1 = -1 / (- 5/7) #

# p_1 = 7/5 #

Høyden må passere gjennom punktet #(5,3)#

Vi kan bruke punkt-skråningsformen for ligningens ligning for å skrive likningen for høyden:

#y = 7/5 (x-5) + 3 #

Forenkle litt:

#y = 7 / 5x-4 "1" #

Hellingen av linjesegmentet fra punkt #(2,6)# til #(5,3) # er:

# m_2 = (3-6) / (5-2) #

# m_2 = -3 / 3 #

# m_2 = -1 #

Hellingen av høyden trukket gjennom dette linjesegmentet vil være vinkelrett, noe som betyr at den vinkelrette helling vil være:

# p_2 = -1 / m_2 #

# p_2 = -1 / (- 1) #

# p_2 = 1 #

Høyden må passere gjennom punktet #(9,1)#

Vi kan bruke punkt-skråningsformen for ligningens ligning for å skrive likningen for høyden:

#y = 1 (x-9) + 1 #

Forenkle litt:

#y = x-8 "2" #

Vi kan gjenta denne prosessen for tredje høyde, men vi har allerede nok informasjon til å bestemme skjæringspunktet.

Sett høyre side av ligningen 1 lik den høyre siden av ligningen 2:

# 7 / 5x-4 = x-8 #

Løs for x-koordinatet av krysset:

# 2 / 5x = -4 #

#x = -10 #

For å finne verdien av y, erstatt -10 for x i ligning 2:

#y = -10 - 8 #

#y = -18 #

Orthocenteret er #(-10,-18)#