Forenkle helt: 1 - 2sin ^ 2 20 °?

Husk det

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

Og dermed

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

Derfor er vårt uttrykk tilsvarende #cos (40) #.

Forhåpentligvis hjelper dette!

Svar:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ sirk = cos 40 ^ sirk #

Forklaring:

"Fullstendig" er et uklar mål i trig, som vi skal se.

For det første er poenget med dette problemet å gjenkjenne sinusformen av cosinus dobbeltvinkels formel:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - sin theta sin theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1 sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

Skriver dette for # Theta = 20 ^ Krets #, #cos (2 (20 ^ sirk)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ sirk #

#cos 40 ^ sirk = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ sirk #

Antagelig #cos 40 ^ sirk # er resultatet "forenklet helt."

Det er svaret. Monzur foreslår at jeg gir en advarsel før neste del. Det er helt valgfritt; Vennligst fortsett å lese hvis du vil vite mer om #cos 40 ^ sirk # og slutte å lese hvis du ikke gjør det.

#cos 40 ^ sirk # er forenklet helt, fordi det egentlig ikke er noe bedre uttrykk vi kan skrive ned for det enn #cos 40 ^ sirk #. # 40 ^ Krets # er ikke konstruerbar med ratt og kompass. Det betyr at trig-funksjonene ikke er resultatet av heltall som er sammensatt av tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon og firkantede røtter.

#cos 40 ^ sirk # er egentlig roten til en polynomekvasjon med heltallskoeffisienter. # Theta = 40 ^ Krets # tilfredsstiller ligningen #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. Hvis #x = cos theta, # det er #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # hvor i # T #s er Chebyshev-polynomene av den første typen. I stedet for de dobbelte og trippelvinkelformlene er de 44 ganger og 46 ganger vinkelformler.

Så #cos (40 ^ Circ) # er en av de førtifem røttene av:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Det er ikke enkelt i det hele tatt.