To hjørner av en liket trekant er på (7, 5) og (3, 6). Hvis trekantens område er 6, hva er lengdene på trekantens sider?

Svar:

Det er et par måter å gjøre det på; Veien med de minste trinnene er forklart nedenfor.

Spørsmålet er tvetydig om hvilke to sider som er like lange. I denne forklaringen antar vi at de to sidene av like lengde er de som ennå ikke finnes.

Forklaring:

En sidelengde vi kan finne ut bare fra koordinatene vi har fått.

# A = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# A = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# A = sqrt (16 + 1) #

# A = sqrt17 #

Da kan vi bruke formelen for område av en trekant når det gjelder sidelengder for å finne ut # B # og # C #.

# A = sqrt (r (r-a) (r-b) (S-c)) #

hvor # S = (a + b + c) / 2 # (ringte semiperimeter)

Siden # A = sqrt (17) # er kjent, og vi antar # b = c #, vi har

# S = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#COLOR (rød) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Bytter dette inn i områdets formel ovenfor, så vel som # A = 6 # og # A = sqrt17 #, vi får

# 6 = sqrt ((farger (rød) (sqrt (17) / 2 + b)) (farger (rød) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (farger (rød) (sqrt (17) / 2 + b) b) (farger (rød) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

Antall 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# B = sqrt (865/68) = c #

Vår løsning er # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Fotnote 1:

Det er mulig å ha en trekant med to sider av lengden #sqrt (17) # og område # A = 6 # (det vil si å ha # A = b = sqrt (17) # i stedet for # b = c #). Dette vil føre til en annen løsning.

Fotnote 2:

Vi kunne også løst dette spørsmålet ved å finne koordinatene til det tredje punktet. Dette ville ha involvert:

a) å finne lengden på den kjente siden #en#

b) å finne bakken # M # mellom de to oppgitte punktene

c) finne midtpunktet # (X_1, y_1) # mellom de to oppgitte punktene

d) å finne "høyden" # H # av denne trekanten bruker # A = 1/2 ah #

e) finne høyden på høyden med #m_h = (- 1) / m #

f) bruk av begge skråning formel # M_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # og høydemetoden # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # å løse for et av koordinatene til det tredje punktet # (X_2, y_2) #

g) etter å kombinere disse to ligningene, forenkle utbytter

# X_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) plugge inn de kjente verdiene for # H #, # M_h #, og # X_1 # å få # X_2 #

i) bruk en av de to ligningene i (f) for å finne # Y_2 #

j) bruk avstandsformelen for å finne de resterende (identiske) sidelengder

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Du kan se hvorfor den første metoden er lettere.