Hva er den største sylinderen med radius, r og høyde h som kan passe i radius, R?

Svar:

Maksimum volum på sylinderen er funnet hvis vi velger

# r = sqrt (2/3) R #, og #h = (2R) / sqrt (3) #

Dette valget fører til et maksimalt sylindervolum på:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Forklaring:

``

Tenk et tverrsnitt gjennom sylinderens senter, og la sylinderen ha høyde # H #, og volum # V #, da har vi;

# H # og # R # kan varieres og # R # er en konstant. Volumet av sylinderen er gitt ved standardformelen:

# V = pir ^ 2h #

Sfærens radius, # R # er hypotenuse av trekanten med sider # R # og # 1 / 2t #, så bruker vi Pythagoras, har vi:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Vi kan erstatte dette inn i volumekvasjonen vår for å få:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Vi har nå volumet, # V # som en funksjon av en enkelt variabel # H #, som vi søker å maksimere wrt # H # så forskjellig # H # gir:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

På et minimum eller maksimum, # (DV) / (dh) = 0 # så:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (selvfølgelig vil vi ha te + ve root)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Med denne verdien av # H # vi får:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Vi bør sjekke at denne verdien fører til et maksimum (i stedet for et maksimum) volum, Vi gjør dette ved å se på det andre derivatet:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

Og som #h> 0 # vi konkluderer med det # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # og at det identifiserte kritiske punktet fører til et maksimum som etterspurt.

Derfor er det maksimale volumet av sylinderen funnet hvis vi velger

# r = sqrt (2/3) R #, og #h = (2R) / sqrt (3) #

Med dette valget får vi maksimalt volum som;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3)))

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Og selvfølgelig er sfærens volum gitt av:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Dette er et veldig kjent problem, som ble studert av greske matematikere måte før Calculus ble oppdaget. En interessant egenskap er forholdet mellom volumet av sylinderen og sfærens volum:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Med andre ord er volumforholdet helt uavhengig av # R #, # R # eller # H # noe som er ganske forbløffende resultat!