Hva er projeksjonen av <0, 1, 3> på <0, 4, 4>?

Svar:

Vektorprojeksjonen er #< 0,2,2 >#, skalarprojeksjonen er # 2sqrt2 #. Se nedenfor.

Forklaring:

gitt # veca = <0,1,3> # og # vecb = <0,4,4> #, vi kan finne #proj_ (vecb) Veca #, den vektor projeksjon av # Veca # videre til # Vecb # ved hjelp av følgende formel:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Det er dotproduktet til de to vektorene dividert med størrelsen på # Vecb #, ganget med # Vecb # dividert med størrelsen. Den andre mengden er en vektormengde, idet vi deler en vektor av en skalar. Legg merke til at vi deler # Vecb # av dens størrelse for å skaffe en enhetsvektor (vektor med størrelsen på #1#). Du kan merke at den første mengden er skalar, da vi vet at når vi tar punktproduktet av to vektorer, er resultatet en skalar.

derfor skalar projeksjon av #en# videre til # B # er #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, også skrevet # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Vi kan begynne med å ta prikkproduktet av de to vektorene:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Da kan vi finne størrelsen på # Vecb # ved å ta kvadratroten av summen av rutene til hver av komponentene.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => Sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

Og nå har vi alt vi trenger for å finne vektorprojeksjonen av # Veca # videre til # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

Den skalære projeksjonen av # Veca # videre til # Vecb # er bare den første halvdelen av formelen, hvor #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #. Derfor er skalarprojeksjonen # 16 / sqrt (32) #, som ytterligere forenkler å # 2sqrt2 #. Jeg har vist forenklingen nedenfor.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / # sqrt2

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Håper det hjelper!