Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Svar:

# {: ("Kritisk punkt", "Konklusjon"), ((0,0,0), "sadel"):} #

Forklaring:

Teorien om å identifisere ekstrem av # Z = f (x, y) # er:

Løs samtidig de kritiske ligningene

# (delvis f) / (delvis x) = (delvis f) / (delvis y) = 0 # (dvs # F_x = f_y = 0 #)
Evaluere #f_ (x x), f_ (yy) og f_ (xy) (= f_ (yx)) # på hvert av disse kritiske punktene. Derfor evaluere # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # på hvert av disse punktene
Bestem ekstrems natur

# {: (Delta> 0, "Det er minimum hvis" f_ (xx) <0), ("og et maksimum hvis" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "det er et salepunkt"), (Delta = 0, "Videre analyse er nødvendig"):} #

Så vi har:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

La oss finne de første partielle derivatene:

# (delvis f) / (delvis x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))}

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (delvis f) / (delvis y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2)) - xe ^ (x ^ 2)

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Så våre kritiske ligninger er:

# y ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Fra disse ligningene har vi:

# y = 0 # eller # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # eller # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

Og den eneste samtidige løsningen er # X = y = 0 #

Og så har vi en kritisk punkt ved opprinnelsen

Så, la oss nå se på de andre partielle derivatene, slik at vi kan bestemme karakteren til det kritiske punktet (jeg vil bare sitere disse resultatene):

# (delvis ^ 2f) / (delvis x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (delvis ^ 2f) / (delvis y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (delvis ^ 2f) / (delvis x delvis y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (delvis ^ 2f) / (delvis y delvis x)) #

Og vi må beregne:

(Delvist ^ 2f) / (delvis ^ 2f) / (delvis ^ 2f) / (delvis ^ 2f) / (delvis x delvis y)) ^ 2 #

på hvert kritisk punkt. Den andre partielle derivatverdien, # Delta #, og konklusjonen er som følger:

# (: ("Critical Point", (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2), (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2), (partial ^ 2f) / "Konklusjon"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "inkluderende"):} #

Så etter alt som fungerer, er det ganske skuffende å få et inkluderende resultat, men hvis vi undersøker oppførelsen rundt kritisk punkt, kan vi lett fastslå at det er et sadelpunkt.

Vi kan se disse kritiske punktene hvis vi ser på et 3D-plott:

Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domenet med definisjonen av: f (x) = 2x ^ 2lnx er intervallet x i (0, + oo). Vurder den første og andre derivaten av funksjonen: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2nnx) (d2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx De kritiske punktene er løsningene av: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 og som x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) I dette punktet: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 så kritisk punkt er et lokalt minimum. Sadpunktene er løsningene av: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 og ettersom f '' (x) er monotone

Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Denne funksjonen har ingen stasjonære poeng (er du sikker på at f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x er den du ønsket å studere ?!). I henhold til den mest diffuste definisjonen av sadelpunkter (stasjonære punkter som ikke er extrema), søker du etter de stasjonære punktene i funksjonen i domenet D = (x, y) i RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) i RR ^ 2}. Vi kan nå omskrive uttrykket gitt for f på følgende måte: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Måten å identifisere dem er å søke etter punkter som nuller gradienten av f, som er vektoren til d

Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) på intervallet x, y i [-pi, pi]?

Vi har: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = = 6sinxsin ^ 2y Trinn 1 - Finn de delvise derivatene Vi beregner det delvise derivatet av en funksjon av to eller flere variabler ved å differensiere wrt en variabel, mens de andre variablene behandles som konstant. Således: De første derivatene er: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y De andre derivatene (sitert) er: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx 2cos2y) = -12sinxcos2y De andre partielle krydsderivatene er: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = -6cosxsin2y Merk at de andre partielle kryssderivatene er identisk