Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Svar:

# {: ("Kritisk punkt", "Konklusjon"), ((0,0,0), "sadel"):} #

Forklaring:

Teorien om å identifisere ekstrem av # Z = f (x, y) # er:

1. Løs samtidig de kritiske ligningene

   # (delvis f) / (delvis x) = (delvis f) / (delvis y) = 0 # (dvs # F_x = f_y = 0 #)

2. Evaluere #f_ (x x), f_ (yy) og f_ (xy) (= f_ (yx)) # på hvert av disse kritiske punktene. Derfor evaluere # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # på hvert av disse punktene
3. Bestem ekstrems natur

   # {: (Delta> 0, "Det er minimum hvis" f_ (xx) <0), ("og et maksimum hvis" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "det er et salepunkt"), (Delta = 0, "Videre analyse er nødvendig"):} #

Så vi har:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

La oss finne de første partielle derivatene:

# (delvis f) / (delvis x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))}

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (delvis f) / (delvis y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2)) - xe ^ (x ^ 2)

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Så våre kritiske ligninger er:

# y ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Fra disse ligningene har vi:

# y = 0 # eller # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # eller # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

Og den eneste samtidige løsningen er # X = y = 0 #

Og så har vi en kritisk punkt ved opprinnelsen

Så, la oss nå se på de andre partielle derivatene, slik at vi kan bestemme karakteren til det kritiske punktet (jeg vil bare sitere disse resultatene):

# (delvis ^ 2f) / (delvis x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (delvis ^ 2f) / (delvis y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (delvis ^ 2f) / (delvis x delvis y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (delvis ^ 2f) / (delvis y delvis x)) #

Og vi må beregne:

(Delvist ^ 2f) / (delvis ^ 2f) / (delvis ^ 2f) / (delvis ^ 2f) / (delvis x delvis y)) ^ 2 #

på hvert kritisk punkt. Den andre partielle derivatverdien, # Delta #, og konklusjonen er som følger:

# (: ("Critical Point", (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2), (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2), (partial ^ 2f) / "Konklusjon"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "inkluderende"):} #

Så etter alt som fungerer, er det ganske skuffende å få et inkluderende resultat, men hvis vi undersøker oppførelsen rundt kritisk punkt, kan vi lett fastslå at det er et sadelpunkt.

Vi kan se disse kritiske punktene hvis vi ser på et 3D-plott: