Hva er den omtrentlige verdien av sqrt {107}?

Svar:

#sqrt (107) ~~ 31/3 ~~ 10.33 #

Forklaring:

Noter det:

#10^2 = 100#

#11^2 = 121#

#107# er nøyaktig #1/3# av veien mellom #100# og #121#.

Det er:

#(107-100)/(121-100) = 7/21 = 1/3#

Så vi kan lineært interpolere mellom #10# og #11# å finne:

#sqrt (107) ~~ 10 + 1/3 (11-10) = 10 + 1/3 = 31/3 ~~ 10.33 #

(Til lineært interpolere i dette eksemplet er å tilnærme kurven til parabolen i grafen til # Y = x ^ 2 # mellom #(10, 100)# og #(11, 121)# som en rett linje)

Bonus

For mer nøyaktighet kan vi bruke:

#sqrt (a ^ 2 + b) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))

Sette # A = 31/3 # vi vil:

#b = 107- (31/3) ^ 2 = 963/9 - 961/9 = 2/9 #

Deretter:

#sqrt (107) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + …)))

Så som et første forbedrings steg:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3) = 31/3 + 1/93 = 962/93 ~~ 10.3441 #

Hvis vi vil ha mer nøyaktighet, bruk flere betingelser:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3)) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + 1/93) = 31/3 + (2/9) / (1923/93) = 31/3 + 62/5769 = 59675/5769 ~~ 10.34408043 #