Triangle A har et område på 15 og to sider med lengder 4 og 9. Trekant B er lik trekant A og har en side med lengde 7. Hva er de maksimale og minste mulige områdene av trekanten B?

Svar:

Det er en mulig tredje side av rundt #11.7# i trekanten A. Hvis det skaleres til syv, vil vi få et minimalt område av # 735 / (97 + 12 sqrt (11)) #.

Hvis sidelengden #4# skalert til #7# vi ville få et maksimalt område av #735/16.#

Forklaring:

Dette er kanskje et vanskeligere problem enn det først vises. Noen vet hvordan du finner den tredje siden, som vi synes å trenge for dette problemet? Normal trig vanlig gjør oss til å beregne vinklene, noe som gjør en tilnærming der ingen er nødvendig.

Det læres ikke virkelig i skolen, men den enkleste måten er Archimedes 'Theorem, en moderne form for Herons teorem. La oss ringe A's område #EN# og relaterer den til A-sider # A, b # og # C. #

# 16A ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

# C # vises bare en gang, så det er vårt ukjente. La oss løse for det.

# (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - 16A ^ 2 #

# c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 pm sqrt {4 a ^ 2 b ^ 2 - 16A ^ 2} #

Vi har # A = 15, a = 4, b = 9. #

# c ^ 2 = 4 ^ 2 + 9 ^ 2 pm sqrt {4 (4 ^ 2) (9 ^ 2) - 16 (15) ^ 2} = 97 pm sqrt {1584} #

#c = sqrt {97 pm 12 sqrt {11}} #

# c ca. 11.696 eller7.563 #

Det er to forskjellige verdier for # C #, som hver skulle gi opphav til en trekant av området #15#. Pluss-tegnet er av interesse for oss fordi det er større enn de andre to sidene.

For maksimalareal, maksimal skalering, betyr det at den minste side skaleres til #7#, for en skaleringsfaktor på #7/4# så et nytt område (som er proporsjonalt med kvadratet av skalfaktoren) av #(7/4)^2(15) = 735/16#

For minimal område er den største siden skalert til #7# for et nytt område av

# 15 (7 / (sqrt {97 + 12 sqrt {11}})) ^ 2 = 735 / (97 + 12 sqrt (11)) #

Triangle A har et område på 15 og to sider med lengder 8 og 7. Trekant B er lik trekant A og har en side med en lengde på 16. Hva er de maksimale og minste mulige områdene av trekanten B?

Maksimal del av Delta B = 78.3673 Minimumsareal av Delta B = 48 Delta s A og B er like. For å få maksimal del av Delta B, må side 16 av Delta B svare til side 7 av Delta A. Sidene er i forholdet 16: 7 Derfor vil områdene være i forholdet 16 ^ 2: 7 ^ 2 = 256: 49 Maksimalt trekantområde B = (15 * 256) / 49 = 78.3673 På samme måte som minimumsområdet, vil side 8 av Delta A svare til side 16 av Delta B. Sidene er i forholdet 16: 8 og områder 256: 64 Minimumsareal av Delta B = (12 * 256) / 64 = 48

Triangle A har et område på 15 og to sider med lengder 8 og 7. Trekant B er lik trekant A og har en side med en lengde på 14. Hva er de maksimale og minste mulige områdene av trekanten B?

Maksimalt mulig trekantområde B = 60 Minimum mulig område av trekant B = 45.9375 Delta s A og B er like. For å få maksimalt område av Delta B, må side 14 av Delta B svare til side 7 av Delta A. Sidene er i forholdet 14: 7 Derfor vil områdene være i forholdet 14 ^ 2: 7 ^ 2 = 196: 49 Maksimalt trekantområde B = (15 * 196) / 49 = 60 På samme måte som minimumsområdet, vil side 8 av Delta A svare til side 14 av Delta B. Sidene er i forholdet 14: 8 og områder 196: 64 Minimumsareal av Delta B = (15 * 196) / 64 = 45,9375

Triangle A har et område på 4 og to sider med lengder 8 og 4. Trekant B er lik trekant A og har en side med en lengde på 13. Hva er de maksimale og minste mulige områdene av trekanten B?

"Maks" = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 "Min" = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 La hjørnene av trekanten A være merket P, Q, R, med PQ = 8 og QR = 4. Ved hjelp av Herons formel, "Areal" = sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)}, hvor S = {PQ + QR + PR} / 2 er halvkantet S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2 Således er sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} = sqrt {({12 + PQ} / {2 + PQ} / 2-8) ({12 + PQ} / 2-4) ({12 + PQ} / 2-PQ)} = sqrt {(12 + PQ) (PQ-4) (4 + PQ) (12 - PQ)} / 4 = "Areal" = 4 Løs for C. sqrt {(144 - PQ ^ 2) (PQ ^ 2-16)} = 16 (PQ ^ 2-144) PQ ^ 2 - 16) = -256 PQ ^ 4 - 160 P