Hva er en løsning på differensialligningen dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Svar:

Den generelle løsningen er:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Forklaring:

Vi har:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Vi kan samle vilkår for lignende variabler:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Hvilket er en separerbar første ordinær vanlig ikke-lineær differensiell likning, så vi kan "skille variablene" å få:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Begge integralene er standardfunksjonene, slik at vi kan bruke den kunnskapen til å integrere direkte:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

Og vi kan lett omorganisere for # Y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Ledende til den generelle løsningen:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Svar:

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Forklaring:

Dette er en skillbar differensialligning, som betyr at den kan skrives i skjemaet:

# Dy / dx * f (y) = g (x) #

Det kan løses ved å integrere begge sider:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

I vårt tilfelle må vi først skille integralet i riktig form. Vi kan gjøre dette ved å dele begge sider av # (Y-1) ^ 2 #:

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Nå kan vi integrere begge sider:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Vi kan løse den venstre håndintegral med en bytte av # U = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# U ^ -1 / (- 1) + CH2 = e ^ t + C_1 #

Resubstituting (og kombinering av konstanter) gir:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Multipliser begge sider av # Y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Del begge sider av # E ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #