Triangle A har et område på 15 og to sider med lengder 4 og 9. Trekant B er lik trekant A og har en side med lengde 12. Hva er de maksimale og minste mulige områdene av trekanten B?

Svar:

135 og #~~15.8#, henholdsvis.

Forklaring:

Den vanskelige tingen i dette problemet er at vi ikke vet hvilken av tresidene til den opprinnelige triangelen tilsvarer den ene av lengden 12 i den tilsvarende trekant.

Vi vet at området for en trekant kan beregnes fra Herons formel

#A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-x)} #

For vår trekant har vi # A = 4 # og # B = 9 # og så # S = {13} + c / 2 #, # s-a = {5 + c} / 2 #, # s-b = {c-5} / 2 # og # s-c = {13-c} / 2 #. Og dermed

# 15 ^ 2 = {13 + c} / 2 xx {5 + c} / 2 xx {c-5} / 2 xx {13-c} / 2 #

Dette fører til en kvadratisk ligning i # C ^ 2 #:

# c ^ 4 - 194 c ^ 2 + 7825 = 0 #

som fører til heller #c ~ ~ 11.7 # eller # c ~~ 7.5 #

Så maksimum og minimum mulig verdi for sidene av vår opprinnelige trekant er henholdsvis 11,7 og 4. Dermed er maksimum og minimum mulig verdi av skaleringsfaktoren #12/4=3# og #12/11.7~~ 1.03#. Siden arealskalaer som firkantede lengder er de maksimale og minste mulige verdiene for området av den tilsvarende trekant # 15 xx 3 ^ 2 = 135 # og # 15 xx 1.03 ^ 2 ~ ~ 15.8 #, henholdsvis.