Hva er -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) lik?

Svar:

Problemet er uoppløselig

Forklaring:

Det er ingen buer at deres cosinus er lik 2 og 3.

Fra et analytisk synspunkt, # ARccOS # funksjonen er bare definert på #-1,1# så #arccos (2) # & #arccos (3) # eksisterer ikke.

Svar:

På ekte # cos # og #synd# dette har ingen løsninger, men som funksjoner av komplekse tall finner vi:

# -3 synd (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Forklaring:

Som ekte verdsatt funksjoner av ekte verdier av # X #, funksjonene #cos (x) # og #sin (x) # bare ta verdier i området #-1, 1#, så #arccos (2) # og #arccos (3) # er udefinert.

Det er imidlertid mulig å utvide definisjonen av disse funksjonene til komplekse funksjoner #cos (z) # og #sin (z) # som følger:

Starter med:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -in (x) #

vi kan utlede:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Derfor kan vi definere:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (-z)) / (2i) #

for et komplekst nummer # Z #.

Det er mulig å finne flere verdier av # Z # som tilfredsstiller #cos (z) = 2 # eller #cos (z) = 3 #, så det kan være noen valg som skal gjøres for å definere hovedverdien #arccos (2) # eller #arccos (3) #.

For å finne passende kandidater, løs # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, etc.

Vær imidlertid oppmerksom på identiteten # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # holder for et komplekst nummer # Z #, så vi kan utlede:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Jeg håper at det er mulig å definere hovedverdien på en slik måte at #sin (arccos (2)) = sqrt (3) jeg # heller enn # -sqrt (3) jeg #.

I alle fall, #cos (arccos (3)) = 3 # per definisjon.

Setter dette sammen, finner vi:

# -3 synd (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #