Hva er orthocenteret til en trekant med hjørner på (4, 7), (9, 5) og (5, 6)?

Svar:

#COLOR (blå) ((5/3, -7 / 3) #

Forklaring:

Orthocenteret er punktet der de utvidede høyder av en trekant møtes. Dette vil være inne i trekanten hvis trekanten er akutt, utenfor trekanten hvis trekanten er stump. I tilfelle av den rettvinklede trekant vil den være i toppunktet i riktig vinkel. (De to sidene er hver høyde).

Det er generelt lettere å gjøre en grov skisse av poengene slik at du vet hvor du er.

La # A = (4,7), B = (9,5), C = (5,6) #

Siden høyder passerer gjennom et toppunkt og er vinkelrett på motsatt side, må vi finne likningen av disse linjene. Det vil fremgå av definisjonen at vi bare trenger å finne to av disse linjene. Disse vil definere et unikt punkt. Det er uansett hvilke du velger.

Jeg vil bruke:

Linje # AB # passerer gjennom # C #

Linje # AC # passerer gjennom # B #

Til # AB #

Finn først gradienten til dette linjesegmentet:

# M_1 = (6-7) / (5-4) = - 1 #

En linje vinkelrett på dette vil ha en gradient som er den negative gjensidige av dette:

# M_2 = -1 / M_1 = -1 / (- 1) = 1 #

Dette går gjennom # C #. Bruke punkthelling form av en linje:

# Y-5 = 1 (X-9) #

# y = x-4 1 #

Til # AC #

# M_1 = (5-7) / (9-4) = - 2/5 #

# M_2 = -1 / (- 2/5) = 5/2 #

Passerer gjennom # B #

# Y-6 = 5/2 (X-5) #

# y = 5 / 2x-13/2 2 #

Krysset mellom #1# og #2# vil være orthocenteret:

Løsning samtidig:

# 5 / 2x-13 / 2x + 4 = 0 => x = 5/3 #

Bytte inn #1#:

# Y = 5 / 3-4 = -7 / 3 #

orthocenter:

#(5/3,-7/3)#

Legg merke til at orthocenteret er utenfor trekanten fordi det er stumt. Høyde linjene passerer gjennom # C # og #EN# må produseres på D og E for å tillate dette.