Hva er perioden for f (t) = sin (t / 36) + cos ((t) / 42)?

Svar:

#T = 504pi #

Forklaring:

Først av alt vet vi det #sin (x) # og #cos (x) # ha en periode på # 2pi #.

Fra dette kan vi trekke det fra #sin (x / k) # har en periode på # K * 2pi #: det kan du tenke på # X / k # er en variabel kjører på # 1 / k # hastigheten på # X #. Så, for eksempel, # X / 2 # kjører ved halv hastighet på # X #, og det vil trenge # 4pi # å ha en periode, i stedet for # 2pi #.

I ditt tilfelle #sin (t / 36) # vil ha en periode på # 72pi #, og #cos (t / 42) # vil ha en periode på # 84pi #.

Din globale funksjon er summen av to periodiske funksjoner. Per definisjon, #f (x) # er periodisk med periode # T # hvis # T # er det minste nummeret slik

#f (x + T) = f (x) #

og i ditt tilfelle oversetter dette til

#sin (t / 36 + T) + cos (t / 42 + T) = synd (t / 36) + cos (t / 42)

Herfra kan du se at perioden for #f (x) # kan ikke være # 72pi # eller # 84pi #, fordi bare ett av de to begrepene vil gjøre en hel tur, mens den andre vil anta en annen verdi. Og siden vi trenger både Vilkår for å gjøre en hel tur, vi må ta minst felles mellom de to perioder:

# lcm (72pi, 84pi) = 504pi #

Svar:

# 1512pi #.

Forklaring:

Den minst positive P (hvis noen) slik at f (t + P) = f (t) er passende

kalt perioden f (t). For denne P, f (t + nP) = f (t), n = + - 1,, + -2, + -3, … #.

Til #sin t og cos t, P = 2pi. #

Til #sin kt og cos kt, P = 2 / kpi. #

Her, perioden for #sin (t / 36) # er pi / 18 # og, til #cos (t / 42) #, Det er # Pi / 21 #.

For den givne sammensatte oscillasjon f (t), bør perioden P være

slik at det også er perioden for de separate vilkårene.

Denne P er gitt ved # P = M (pi / 18) = N (pi / 21). For M = 42 og N = 36, # P = 1512 pi #

Nå, se hvordan det fungerer.

#f (t + 1512pi) #

# = Sin (t / 36 + 42pi) + cos (t / 42 + 36pi) #

# = synd (t / 36) + cos (t / 42) #

# = F (t).

Hvis halver P til 761 og dette er merkelig. Så, P = 1512 er minst mulig

enda flere av # Pi #.