Hva er kvadratroten av 5?

Kvadratroten av #5# kan ikke forenkles far enn den allerede er, så her er # Sqrt5 # til ti desimaler:

# Sqrt5 ~~ 2,2360679775 … #

Svar:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # er et irrasjonelt tall.

Forklaring:

Alle positive tall har normalt to firkantede røtter, en positiv og en negativ av samme størrelse. Vi betegner den positive (a.k.a. rektor) kvadratroten av # N # av #sqrt (n) #.

En firkantrot av et tall # N # er et tall # X # slik at # x ^ 2 = n #. Så hvis # x ^ 2 = n # da også # (- x) ^ 2 = n #.

Men populær bruk er at "kvadratroten" refererer til den positive.

Anta at vi har et positivt tall # X # som tilfredsstiller:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Deretter multipliserer begge sider av # (2 + x) # vi får:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Deretter trekker du av # 2x # fra begge sider får vi:

# X ^ 2 = 5 #

Så vi har funnet:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (hvit) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))))) #

Når denne fortsatte fraksjonen ikke avsluttes, kan vi fortelle det #sqrt (5) # kan ikke bli representert som en avslutningsfraksjon - det vil si et rasjonelt tall. Så #sqrt (5) # er et irrasjonelt tall litt mindre enn #2 1/4 = 9/4#. For bedre rasjonelle tilnærminger kan du avslutte den fortsatte fraksjonen etter flere betingelser.

For eksempel:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Utpakking av disse fortsatte fraksjonene kan være litt kjedelig, så jeg foretrekker vanligvis å bruke en annen metode, nemlig begrensningsforholdet til en heltalsekvens definert rekursivt.

Definer en sekvens av:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

De første få vilkårene er:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Forholdet mellom vilkår vil ha en tendens til # 2 + sqrt (5) #.

Så finner vi:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #