La oss si at K og L er to forskjellige underrom, ekte vektorglass V. Hvis gitt dim (K) = dim (L) = 4, er det mulig å bestemme minimal dimensjoner for V?

Svar:

5

Forklaring:

La de fire vektorene # K_1, k_2, k_3 # og # K_4 # danner grunnlag for vektorglasset # K #. Siden # K # er et underrom av # V #, danner disse fire vektorene et lineært uavhengig sett inn # V #. Siden # L # er et underrom av # V # annerledes enn # K #, det må være minst ett element, si # L_1 # i # L #, som ikke er i # K #, dvs, som ikke er en lineær kombinasjon av # K_1, k_2, k_3 # og # K_4 #.

Så settet # {K_1, k_2, k_3, k_4, L_1} # er et lineært uavhengig sett av vektorer i # V #. Dermed dimensjonaliteten av # V # er minst 5!

Faktisk er det mulig for spekteret av # {K_1, k_2, k_3, k_4, L_1} # å være hele vektorglasset # V # - slik at minimumsgrunnlaget for vektorer må være 5.

Bare som et eksempel, la # V # være # RR ^ 5 # og la # K # og # V # består av vektorer av skjemaene

# ((alpha), (beta), (gamma), (delta), (0)) # og # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Det er lett å se at vektorene

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#og #((0),(0),(0),(0),(0))#

danner grunnlag for # K #. Legg vektoren #((0),(0),(0),(0),(0))#, og du vil få grunnlag for hele vektorglasset,