Svar:
Konvergerer til # 1 + i # (på min Ti-83 grafikkberegner)
Forklaring:
La # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
For det første, antar at denne uendelige serien konvergerer (dvs. antar at S eksisterer og tar verdien av et komplekst tall), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
Og hvis du løser for S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
og bruke den kvadratiske formelen du får:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 pm i #
Vanligvis tar kvadratroten funksjonen den positive verdien # S = 1 + i #
Dermed, hvis den konvergerer, må den konvergere til # 1 + i #
Nå er alt du trenger å gjøre, bevise at det konvergerer eller hvis du er lat som meg, så kan du plugge # sqrt {-2} # inn i en kalkulator som kan håndtere imaginære tall og bruke tilbakevendingsforholdet:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Jeg gjentok dette mange ganger på min Ti - 83 og fant at det kommer nærmere, for eksempel etter at jeg gjentok det et sted som 20 ganger jeg fikk omtrent
# 1,000694478 + 1.001394137i #
ganske god tilnærming
