Røttene til den kvadratiske ligningen 2x ^ 2-4x + 5 = 0 er alfa (a) og beta (b). (a) Vis at 2a ^ 3 = 3a-10 (b) Finn den kvadratiske ligningen med røttene 2a / b og 2b / a?

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Finn først røttene til:

# 2x ^ 2-4x + 5 = 0 #

Bruk av kvadratisk formel:

#X = (- (- 4) + - SQRT ((- 4) ^ 2-4 (2) (5))) / 4 #

# X = (4 + -sqrt (-24)) / 4 #

# X = (4 + -2isqrt (6)) / 4 = (2 + -isqrt (6)) / 2 #

# A = (2 + isqrt (6)) / 2 #

# Beta = (2-isqrt (6)) / 2 #

en)

# 2a ^ 3 = 3a-10 #

# 2 ((2 + isqrt (6)) / 2) ^ 3 = 3 ((2 + isqrt (6)) / 2) -10 #

# 2 ((2 + isqrt (6)) / 2) ^ 3 = (2 (2 + isqrt (6)) (2 + isqrt (6)) (2 + isqrt (6))) / 8 #

# = 2 * (- 28 + 6isqrt (6)) / 8 #

#COLOR (blå) (= (- 14 + 3isqrt (6)) / 2) #

# 3 ((2 + isqrt (6)) / 2) = -10 (6 + 3isqrt (6)) / 2-10 #

# = (6 + 3isqrt (6) -20) / 2color (blå) (= (- 14 + 3isqrt (6)) / 2) #

# 2 * a / b = ((2 + isqrt (6)) / 2) / ((2-isqrt (6)) / 2) = (2 + isqrt (6)) / (2-isqrt (6)) #

# 2 * b / a = ((2-isqrt (6)) / 2) / ((2 + isqrt (6)) / 2) = (2-isqrt (6)) / (2 + isqrt (6)) #

Hvis disse er røttene til en kvadratisk da:

#A (x- (2 + isqrt (6)) / (2-isqrt (6))) (X- (2-isqrt (6)) / (2 + isqrt (6))) #

#A (x ^ 2 + 4 / 5x + 4) #

Hvor # BBA # er en multiplikator.

Jeg har ikke inkludert arbeidet her ute. Det er for langt og rotete.

Gitt forskjellen mellom røttene til den kvadratiske ligningen x ^ 2 + 6x + h - 3 = 0 er 4, hvor h er en konstant. Finn verdien av h?

H = 8 Gitt: x ^ 2 + 6x + h-3 Den gitte ligningen er i standardform der a = 1, b = 6 og c = h-3 Vi får to røtter; la dem være r_1 og r_2 og vi får r_2 = r_1 + 4. Vi vet at symmetriaksen er: s = -b / (2a) s = -6 / (2 (1)) s = -3 Røttene er symmetrisk plassert rundt symmetriaksen, noe som betyr at den første roten er symmetriakse minus 2 og den andre roten er symmetriaksen pluss 2: r_1 = -3-2 = -5 og r_2 = -3 + 2 = -1 Derfor er faktorene: (x + 5) (x + 1) = x ^ 2 + 6x + 5 Vi kan skrive følgende ligning for å finne verdien av h: 5 = h - 3 h = 8

Hva er den kvadratiske ligningen med røttene 5 og 8?

En mulig løsning er 2x ^ 2 -26x +80 Vi kan skrive det ned i sin formelle form: a (x-r_1) (x-r_2), hvor a er koeffisienten x ^ 2 og r_1, r_2 de to røttene. en kan være et hvilket som helst null-ekte tall, siden roten er uansett verdi, er det fortsatt r_1 og r_2. For eksempel, ved å bruke a = 2, får vi: 2 (x-5) (x-8). Ved hjelp av distribusjonsegenskapen er dette: 2x ^ 2 - 16x - 10x + 80 = 2x ^ 2 -26x +80. Som jeg sa før, bruk av noen ainRR med a! = 0 vil være akseptabelt.

Q.1 Hvis alfa, beta, er røttene til ligningen x ^ 2-2x + 3 = 0 oppnådd ligningen hvis røtter er alfa ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 og beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5?

Q.1 Hvis alfa, beta, er røttene til ligningen x ^ 2-2x + 3 = 0 oppnådd ligningen hvis røtter er alfa ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 og beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5? Svar gitt ligning x ^ 2-2x + 3 = 0 => x = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i La alpha = 1 + sqrt2i og beta = 1-sqrt2i La nå gamma = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 => gamma = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 3 alfa-1 + 2alfa-1 => gamma = (alfa-1) ^ 3 + alfa-1 + alfa => gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i => gamma = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 Og la delta = beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 => delta = beta ^ 2 (beta-1)