Triangle A har et område på 9 og to sider med lengder 6 og 9. Trekant B er lik trekant A og har en side med lengde 12. Hva er de maksimale og minste mulige områdene av trekanten B?

Svar:

min # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} ca 5.922584784 … #

Max # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} ca 85.39448839 … #

Forklaring:

gitt:

# Område _ { triangleA} = 9 #

Sidelengder av # triangleA # er # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Sidelengder av # triangleB # er # U, V, W #

#U = 12 #

# trekant A tekst {lignende} trekant B #

først løse for Z.:

bruk Herons formel: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # hvor # S = frac {A + B + C} {2} #, sub i område 9 og sidelengder 6 og 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

{ Frac {Z + 3} {2}) { frac {Z - 3} {2}) { frac {15 - z} { frac {15 + Z} {2} 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

La # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

bruk kvadratisk formel

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # Avvis de negative løsningene som # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Og dermed # Z ca 3.895718613 # og # 14.79267983 # henholdsvis

# fordi trekant A tekst {lignende} trekant B, areal _ { trekant B} = k ^ 2 * Område _ { triangleA} # hvor # K # er størrelsesfaktoren

# k = 12 / s # hvor arrangert i stigende rekkefølge: #s in {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

eller i desimalform: #s in {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Jo større verdien av # S #, jo mindre området og desto mindre er verdien av # S #, jo større området,

For å minimere området velger du # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

og for å maksimere området velg # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Dermed minimumsareal # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} ca 5.922584784 … #

og det maksimale området # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} ca 85.39448839 … #