Hvilken av følgende har maksimalt antall ekte røtter?

Svar:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # med #4# ekte røtter.

Forklaring:

Legg merke til at røttene til:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

er en del av forening av røttene til de to ligningene:

# {(yx ^ 2 + bx + c = 0), (yx ^ 2-bx + c = 0):}

Merk at hvis en av disse to ligningene har et par virkelige røtter, så gjør det også den andre siden de har samme diskriminerende:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Videre bemerkes at hvis #a, b, c # alle har samme tegn da # ax ^ 2 + b abs (x) + c # vil alltid ta verdier av det tegnet når # X # er ekte. Så i våre eksempler siden # A = 1 #, kan vi umiddelbart merke til at:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

så har ingen nuller.

La oss se på de tre andre ligningene igjen:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x i {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = +2) (x-1) => x i {-2, 1}):} #

Forsøker hver av disse, finner vi løsninger #x i {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x i {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = 1) (x + 2) => x i {-1, -2}):} #

Prøver hver av disse finner vi alle er løsninger av den opprinnelige ligningen, dvs. #x i {-2, -1, 1, 2} #

Alternativ metode

Legg merke til at ekte røtter av # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (hvor #c! = 0 #) er positive reelle røtter av # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Så for å finne hvilken av de gitte ligningene som har de mest virkelige røttene, er det like å finne hvilken av de tilsvarende ordinære kvadratiske ligningene som har mest positive virkelige røtter.

En kvadratisk ligning med to positive virkelige røtter har tegn i mønsteret #+ - +# eller #- + -#. I vårt eksempel er det første tegnet alltid positivt.

Av de givne eksemplene har bare den andre og tredje koeffisientene i mønsteret #+ - +#.

Vi kan rabatt den andre ligningen # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # siden diskriminanten er negativ, men for den tredje ligningen finner vi:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

har to positive reelle røtter, gir #4# røtter av ligningen # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #