Hva er orthocenteret av en trekant med vertikaler på O (0,0), P (a, b) og Q (c, d) #?

Svar:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Forklaring:

Jeg har generalisert dette gamle spørsmålet i stedet for å spørre en ny. Jeg gjorde dette før for et circumcenter spørsmål og ingenting skjedde, så jeg fortsetter serien.

Som før legger jeg et toppunkt på opprinnelsen for å forsøke å holde algebraen tett. En vilkårlig trekant er lett oversatt og resultatet lett oversatt tilbake.

Orthocenteret er skjæringspunktet mellom høyder av en trekant. Dens eksistens er basert på teorien at høyder av en trekant skjærer på et punkt. Vi sier de tre høyder er samtidig.

La oss bevise høyder av trekanten OPQ er samtidige.

Retningsvektoren til side OP er # P-O = P = (a, b), # som bare er en fancy måte å si at skråningen er # B / a # (men retningsvektoren fungerer også når # A = 0 #). Vi får retningsvektoren til den vinkelrette ved å bytte koordinater og negere en, her # (B, -a). # Vinkelrett bekreftes av nullpunktsproduktet:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Den parametriske ligningen i høyden fra OP til Q er således:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # på ekte # T #

Høyden fra OQ til P er på samme måte

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # på ekte # U #

Retningsvektoren til PQ er # Q-P = (c-en, d-b) #. Den vinkelrette gjennom opprinnelsen, dvs. høyden fra PQ, er således

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # på ekte # V #

La oss se på møtet av høyder fra OP og PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Det er to likninger i to ukjente, # T # og # V #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Vi vil multiplisere den første ved #en# og den andre ved # B #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

legge til, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad-ab + ab-bc)

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Vekk kul med prikkproduktet i telleren og kryssproduktet i nevnen.

Møtet er det antatte orthocenteret # (X, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc}

La oss finne møtet på høydene fra OQ og PQ neste. Ved symmetri kan vi bare bytte #en# med # C # og # B # med # D #. Vi ringer resultatet # (X 'y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc}

Vi har disse to kryssene er de samme, # (x ', y') = (x, y), # så vi har bevist at høyder er samtidige. #quad sqrt #

Vi har rettferdiggjort navngivelsen av det felles veikrysset orthocenter, og vi har funnet sine koordinater.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #