Hvordan finner du alle løsninger av 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # til

#x i {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # hvor #n i ZZ #

Løse: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Først, erstatt # cos ^ 2 x # av # (1 - sin ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

Anrop # sin x = t #, vi har:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Dette er en kvadratisk ligning av skjemaet # ved ^ 2 + bt + c = 0 # som kan løses med snarvei:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

eller factoring til # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

En ekte rot er # t_1 = -1 # og den andre er # t_2 = 1/2 #.

Deretter løses de to grunnleggende trig-funksjonene:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# Rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (til #n i ZZ #)

og

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# Rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

eller

# Rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

Sjekk med ligning (1):

#cos (3pi / 2) = 0; synd (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (riktig)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; synd (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (riktig)