Hva er de lokale maksima og minima av f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Svar:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Denne funksjonen har en vertikal asymptote på # X = 2 #, tilnærminger #1# fra ovenfor som x går til # + oo # (horisontal asymptote) og tilnærminger #1# fra under som x går til # -oo #. Alle derivater er udefinert på # X = 2 # også. Det er en lokal minima på # X = 0 #, # Y = 0 # (Alt det trøbbel for opprinnelsen!)

Merk at du kanskje vil sjekke min matte, selv den beste av oss slipper det merkelige negative tegnet, og dette er et langt spørsmål.

Forklaring:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Denne funksjonen har en vertikal asymptote på # X = 2 #, fordi nevneren er null når # X = 2 #.

Den nærmer seg #1# fra ovenfor som x går til # + oo # (horisontal asymptote) og tilnærminger #1# fra under som x går til # -oo #, fordi for store verdier # X ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # med # X ^ 2> (x-2) ^ 2 # til #X> 0 # og # X ^ 2 <(x-2) ^ 2 # til #X <0 #.

For å finne maks / min trenger vi første og andre derivater.

# {df (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Bruk kvotientregelen!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {) ^ 4}) #.

Ved hjelp av regel for makter og kjederegelen får vi:

# {df (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Vi har nå slått litt opp …

# {df (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {df (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {df (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Nå er det andre avledet, gjort som det første.

# (d ^ 2f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

(x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

(x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Det er stygg, men vi trenger bare å plugge og merke hvor det er dårlig opptatt.

# {df (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Denne funksjonen er udefinert på # X = 2 #, det asymptote, men ser bra ut overalt ellers.

Vi vil vite hvor maks / min er …

vi setter # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # Dette er null når telleren er null og hvis nevnen ikke er.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # eller # 4x (2-x) = 0 # Dette er null på # X = 0 # og # X = 2 #, men vi kan ikke ha en maks / min var derivaten / funksjonen er udefinert, så den eneste muligheten er # X = 0 #.

"den andre avledede testen"

Nå ser vi på det andre derivatet, stygg som det er …

(x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Som funksjonen og det første derivatet er dette udefinert på # X = 2 #, men ser bra ut overalt ellers.

Vi plugger # X = 0 # inn i # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, er ikke null et flott nummer å koble det til?

#=128/256# alt det for #1/2#

#1/2 >0# så # X = 0 # er en lokal minima.

For å finne y-verdien må vi plugge den inn i funksjonen.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Opprinnelsen!