Funksjonen 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 er maksima, minima eller bøyningspunkt?

Svar:

Ingen minutter eller maks
Bøyningspunkt på #x = -2 / 3 #.

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Forklaring:

Mins og Maxes

For en gitt # X #-value (la oss kalle det # C #) for å være en maks eller min for en gitt funksjon, må den tilfredsstille følgende:

#f '(c) = 0 # eller udefinert.

Disse verdiene av # C # kalles også din kritiske punkter.

Merk: Ikke alle kritiske poeng er maks / min, men alle maks / min er kritiske punkter

Så, la oss finne disse for din funksjon:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Dette påvirker ikke, så la oss prøve kvadratisk formel:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… og vi kan stoppe der. Som du ser, har vi et negativt tall under kvadratroten. Derfor er det ingen ekte kritiske poeng for denne funksjonen.

Bøyningspunkter

Nå, la oss finne punkter av bøyning. Dette er poeng hvor grafen har en endring i konkavitet (eller krumning). For et punkt (ring det # C #) for å være et bøyningspunkt, må det tilfredsstille følgende:

#f '' (c) = 0 #.

Merk: Ikke alle slike punkter er bøyningspunkter, men alle bøyningspunkter må tilfredsstille dette.

Så la oss finne disse:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Nå må vi sjekke om dette faktisk er et bøyningspunkt. Så vi må bekrefte det #f '' (x) # Faktisk bytter tegn på #x = -2 / 3 #.

Så la oss teste verdiene til høyre og venstre for #x = -2 / 3 #:

Ikke sant:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Venstre:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Vi bryr oss ikke så mye hva de faktiske verdiene er, men som vi tydeligvis kan se, er det et positivt tall til høyre for #x = -2 / 3 #, og et negativt tall til venstre for #x = -2 / 3 #. Derfor er det faktisk et bøyningspunkt.

Å oppsummere, #f (x) # har ingen kritiske poeng (eller min eller max), men det har et bøyningspunkt på #x = -2 / 3 #.

La oss se på grafen til #f (x) # og se hva disse resultatene betyr:

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Denne grafen øker overalt, slik at den ikke har noe sted der derivatet = 0. Det går imidlertid fra buet ned (konkav ned) til buet opp (konkav opp) ved #x = -2 / 3 #.

Håper det hjalp:)