La S være en firkant av enhetsareal. Overvei noen firkant som har ett toppunkt på hver side av S. Hvis a, b, c og d betegner lengden på sidene av firkanten, bevise at 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

La # ABCD # være en firkant av enhetsareal.

Så # AB = BC = CD = DA = 1 # enhet.

La # PQRS # være en firkant som har ett toppunkt på hver side av torget. Her la # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = en #

Bruk av Pythagoras thorem vi kan skrive

# A ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = X ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Nå med problemet vi har

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

derav

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #