Svar:
Resten av delingen #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # av # (X-k) # er #f (k) #, så løse #f (k) = 9 # ved hjelp av rationell rotteorem og factoring for å finne:
# k = 1/2, -2 # eller #-3#
Forklaring:
Hvis du prøver å dele #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # av # x-k # du ender med en rest av #f (k) #…
Så hvis resten er #9#, vi prøver i utgangspunktet å løse #f (k) = 9 #
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k + 3 = 9 #
Trekke fra #9# fra begge sider for å få:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = 0 #
Ved rationell rotteorem vil alle rasjonelle røtter av denne kubikk være av formen # P / q # på laveste vilkår, hvor #p, q i ZZ #, #q! = 0 #, # P # en divisor av den konstante sikt #-6# og # Q # en divisor av koeffisienten #2# av ledende begrepet.
Det betyr at de mulige rasjonelle røttene er:
#+-1/2#, #+-1#, #+-3/2#, #+-2#, #+-3#, #+-6#
La oss prøve den første:
#f (1/2) = 1/4 + 9/4 + 7 / 2-6 = (1 + 9 + 14-24) / 4 = 0 #
så # k = 1/2 # er en rot og # (2k-1) # er en faktor.
Delt på # (2k-1) # å finne:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = (2k-1) (k ^ 2 + 5k + 6) = (2k-1) (k + 2) (k + 3)
Så de mulige løsningene er:
# k = 1/2 #, # k = -2 # og # k = -3 #
