Vi har en sirkel med et innskrevet firkant med en innskrevet sirkel med en innskrevet like-sidet trekant. Diameteren til den ytre sirkelen er 8 fot. Triangelmaterialet koster $ 104,95 per kvadratmeter. Hva koster det trekantede senteret?

Svar:

Kostnaden for et triangulært senter er $ 1090.67

Forklaring:

#AC = 8 # som en gitt diameter på en sirkel.

Derfor fra den pythagoriske teorem til høyre isosceles trekant # Del ABC #, #AB = 8 / sqrt (2) #

Så siden #GE = 1/2 AB #, #GE = 4 / sqrt (2) #

Åpenbart trekant # Del GHI # er liksidig.

Punkt # E # er et senter av en sirkel som omkranser # Del GHI # og som sådan er et skjæringspunkt for medianer, høyder og vinkel bisektorer av denne trekanten.

Det er kjent at et skjæringspunkt mellom medianer deler disse medianene i forholdet 2: 1 (for bevis se Unizor og følg linkene Geometri - Parallelllinjer - Mini-teorier 2 - Teorem 8)

Derfor, # GE # er #2/3# av hele medianen (og høyde- og vinkelsnittet) av trekanten # Del GHI #.

Så, vi vet høyden # H # av # Del GHI #, det er lik #3/2# multiplisert med lengden på # GE #:

#h = 3/2 * 4 / sqrt (2) = 6 / sqrt (2) #

Å vite # H #, kan vi beregne lengden på siden #en# av # Del GHI # ved hjelp av pythagorasetningen:

# (A / 2) ^ 2 + h ^ 2 = a ^ 2 #

hvorfra følger:

# 4h ^ 2 = 3a ^ 2 #

# A = (2h) / sqrt (3) #

Nå kan vi beregne #en#:

#a = (2 * 6) / (sqrt (2) * sqrt (3)) = 2sqrt (6) #

Arealet av en trekant er derfor

#S = 1 / 2ah = 1/2 * 2sqrt (6) * 6 / sqrt (2) = 6sqrt (3) #

Til en pris på $ 104,95 per kvadratmeter, er prisen på en trekant

#P = 104.95 * 6sqrt (3) ~~ 1090.67 #