Hva er den lokale ekstremmen av f (x) = xlnx-xe ^ x?

Svar:

Denne funksjonen har ingen lokal ekstrem.

Forklaring:

#f (x) = xlnx-xe ^ x innebærer #

#g (x) ekv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Til # X # å være en lokal ekstrem, #G (x) # må være null. Vi vil nå vise at dette ikke forekommer for noen reell verdi av # X #.

Noter det

(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {''} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Og dermed #G ^ '(x) # vil forsvinne hvis

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Dette er en transcendentlig ligning som kan løses numerisk. Siden #g ^ '(0) = + oo # og #G ^ '(1) = 1-3e <0 #, roten ligger mellom 0 og 1. Og siden #g ^ {''} (0) <0 # for alle positive # X #, dette er den eneste roten og den tilsvarer et maksimum for #G (x) #

Det er ganske enkelt å løse ligningen numerisk, og dette viser det #G (x) # har en maksimum på # X = 0,3152 # og maksimumverdien er #g (0,3152) = -1,957 #. Siden den maksimale verdien av #G (x) # er negativ, det er ingen verdi av # X # ved hvilken #G (x) # forsvinner.

Det kan være lærerikt å se på dette grafisk:

grafen {x log (x) -x e ^ x -0,105, 1, -1,175, 0,075}

Som du kan se fra grafen ovenfor, er funksjonen #f (x) # faktisk har et maksimum på # X = 0 # - men dette er ikke et lokalt maksimum. Grafen nedenfor viser det #g (x) equiv f ^ '(x) # tar aldri verdien null.

graf {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}