Hva er forskjellen mellom en antiderivativ og en integrert?

Det er ingen forskjeller, de to ordene er synonymt.

Det avhenger av et par ting. Hvilken antiderivativ, den generelle eller en bestemt? hvilken integrert bestemt eller ubestemt? Og hvem spør vi?

Generell Antiderivativ og Ubestemt Integral:

Mange matematikere skelner ikke mellom det ubestemte integralet og det generelle antiderivative. I begge tilfeller for funksjon # F # svaret er # F (x) + C # hvor # F '(x) = f (x) #..

Noen (for eksempel lærebokforfatter James Stewart) skiller seg ut. Hva Stewart refererer til som "den mest generelle" antidivivative av # F #, innrømmer forskjellige konstanter ved hver ulempe av # F #. For eksempel ville han svare på det mest generelle antiderivative av # 1 / x ^ 2 # er en stykkevis definert funksjon:

# F (x) = (- 1) / x + C_1 # til #X <0 # og # (- 1) / x + CH2 # til #X> 0 #.

Den ubestemte integral av # F #, i denne behandlingen, er alltid en antivirivativ med noen intervall på hvilke # F # er kontinuerlig.

Så #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, der det forstås at domenet er begrenset til noen delsett av enten de positive reals eller en del av de negative reals.

Spesielle antiderivater

En bestemt antidivivative av # F # er en funksjon # F # (i stedet for en familie av funksjoner) for hvilke # F '(x) = f (x) #.

For eksempel:

# F (x) = (- 1) / x + 5 # til #X <0 # og # (- 1) / x + 1 # til #X> 0 #.

er en spesiell antidervativ til #f (x) = 1 / x ^ 2 #

Og:

#G (x) = (- 1) / x-3 # til #X <0 # og # (- 1) / x + 6 # til #X> 0 #.

er en annen spesiell antidervativ til #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Definitive integraler

Den definitive integral av # F # fra #en# til # B # er ikke en funksjon. Det er et tall.

For eksempel:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(For ytterligere å komplisere saker, kan dette bestemte integralet bli funnet, ved hjelp av grunnleggende setningen av beregning, del 2, ved å finne den / en ubestemt integral / generell antidivivative først og deretter gjøre somearitmetisk.)

Spørsmålet ditt er relatert til det som virkelig var "nøkkelinnsigelsen" i utviklingen av kalkulator av Isaac Newton og Gottfried Leibniz.

Fokuserer på funksjoner som aldri er negative, kan dette innsiktet formuleres som: "Antiderivativer kan brukes til finne områder (integraler) og områder (integraler) kan brukes til definere antiderivativer ". Dette er essensen av grunnleggende teorem for beregningen.

Uten å bekymre seg om Riemann-beløp (etter hvert bodde Bernhard Riemann nesten 200 år etter Newton og Leibniz uansett) og tok begrepet område som et intuitivt (udefinert) konsept for en kontinuerlig, ikke-negativ funksjon #f (x) geq 0 # for alle # X # med #a leq x leq b #, tenk bare på det bestemte integrerte symbolet # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # som representerer området under grafen av # F # og over # X #-aks mellom # x = a # og # X = b #. Hvis en annen funksjon # F # kan bli funnet slik # F '(x) = f (x) # for alle #a leq x leq b #, deretter # F # kalles en antiderivativ av # F # over intervallet # A, b # og forskjellen # F (b) -F (a) # tilsvarer verdien av det bestemte integralet. Det er, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Dette faktum er nyttig for funn verdien av et bestemt integral (område) når en formel for et antivivativ kan bli funnet.

Omvendt, hvis vi lager den øvre grensen til integral symbolet en variabel, ring den # T #, og definer en funksjon # F # ved formelen #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (så #F (t) # er virkelig området under grafen av # F # mellom # x = a # og # X = t #, forutsatt #a leq t leq b #), så denne nye funksjonen # F # er veldefinert, differensierbar og # F '(t) = f (t) # for alle tall # T # mellom #en# og # B #. Vi har brukt en integrert til definere en antiderivativ av # F #. Dette faktum er nyttig for å tilnærme verdier av et antiderivativt når ingen formel for den kan bli funnet (ved hjelp av numeriske integrasjonsmetoder som Simpsons regel). For eksempel brukes den hele tiden av statistikere når de tilnærmer områder under normalkurven. Verdiene av en spesiell antidivivativ av standard Normal-kurven er ofte gitt i en tabell i statistikkbøker.

I tilfelle hvor # F # har negative verdier, må det konkrete integralet tenkes i form av "signerte områder".