Hva er derivatet av y = (sinx) ^ x?

Svar:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Forklaring:

Bruk logaritmisk differensiering.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Bruk egenskaper av # Ln #)

Differensierer implisitt: (Bruk produktregelen og kjedenrullen)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Så har vi:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Løs for # Dy / dx # ved å multiplisere med #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Svar:

# D / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Forklaring:

Den enkleste måten å se dette på, er å bruke:

# (Sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (XLN (sinx)) #

Å ta derivatet av dette gir:

# D / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (XLN (sinx)) #

# = (Ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Nå må vi merke at hvis # (Sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # er udefinert.

Men når vi analyserer oppførselen til funksjonen rundt # X #'s som dette innehar, finner vi at funksjonen oppfører seg godt nok til at dette skal fungere, fordi, hvis:

# (Sinx) ^ x # nærmer seg 0

deretter:

#ln ((sinx) ^ x) # vil nærme seg # -Oo #

så:

# E ^ (ln ((sinx) ^ x)) # vil også nærme seg 0

Videre bemerker vi at hvis #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # vil være et komplekst tall; men algebra og kalkulator som vi har brukt, jobber også i det komplekse flyet, så dette er ikke et problem.

Svar:

Mer generelt…

Forklaring:

F (x) F (x) F '(x) + G' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #