Svar:
Linjen er (3) (1 - 10pi) +2) 2) / (9sqrt (3) - 52) #
Forklaring:
Denne behemoten av en ligning er avledet gjennom en noe lang prosess. Jeg vil først skissere trinnene som avledningen vil fortsette og deretter utføre disse trinnene.
Vi får en funksjon i polarkoordinater, #f (theta) #. Vi kan ta derivatet, #f '(theta) #, men for å faktisk finne en linje i kartesiske koordinater, trenger vi # Dy / dx #.
Vi kan finne # Dy / dx # ved å bruke følgende ligning:
# th / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #
Da kobler vi den hellingen til standard kartesisk linjeskjema:
#y = mx + b #
Og sett inn de kartesiske konverterte polarkoordinatene til vårt interessepunkt:
#x = f (theta) cos (theta) #
#y = f (theta) synd (theta) #
Et par ting som burde være umiddelbart opplagte og vil spare oss tid nedover linjen. Vi tar en linje som er tangent til punktet #theta = pi #. Dette betyr at #sin (theta) = 0 # så…
1) Vår ligning for # Dy / dx # vil faktisk være:
# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #
2) Våre ligninger for de kartesiske koordinatene til vårt punkt vil bli:
#x = -f (theta) #
#y = 0 #
Begynn å faktisk løse problemet, så er vår første rekkefølge av virksomheten å finne #f '(theta) #. Det er ikke vanskelig, bare tre enkle derivater med kjederegler på to:
#f '(theta) = -5-3/2 cos (3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sek ^ 2 (theta / 2 - pi / 3)
Nå vil vi vite #f (pi) #:
#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #
# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #
# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #
Og #f '(pi) #…
#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sek ^ 2 (pi / 6) #
# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #
# = (9sqrt3 - 52) / 12 #
Med disse i hånden er vi klare til å bestemme vår skråning:
# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #
# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3-52) #
# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3-52) #
Vi kan koble dette inn som # M # i #y = mx + b #. Husk at vi tidligere bestemte oss for det # Y = 0 # og #x = -f (theta) #:
(0) - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3-52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #
# 0 = - (3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3-52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #
# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3-52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #
#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3-52) #
Vi kan kombinere vår tidligere fastsatte # M # med vår nybestemte # B # å gi ligningen for linjen:
(3) (1 - 10pi) +2) 2) / (9sqrt (3) - 52) #
