Hva er integralet av int tan ^ 5 (x)?

Svar:

(x) | + C # (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sek (x) | + C #

Forklaring:

#int tan ^ (5) (x) dx #

Å vite at # tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1 #, vi kan omskrive det som

#int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx #, som gir

#int sek ^ 3 (x) sek (x) tan (x) dx-2int sek ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx #

Første integral:

La # u = sec (x) -> du = sek (x) tan (x) dx #

Andre integral:

La #u = sec (x) -> du = sek (x) tan (x) dx #

Derfor

#int u ^ 3 du - 2int du du + int tan (x) dx #

Legg også merke til det #int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C #, og gir oss dermed

# 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C #

erstatte # U # Tilbake til uttrykket gir oss vårt endelige resultat av

# 1/4 SEK ^ (4) (x) Avbryte (2) * (1 / avbryt (2)) s ^ (2) (x) + ln | s (x) | + C #

Og dermed

(x) | + C # (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sek (x) | + C #

Hva er integralet av int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Vårt store problem i dette integralet er roten, så vi vil bli kvitt den. Vi kan gjøre dette ved å introdusere en substitusjon u = sqrt (2x-1). Derivatet er da (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Så vi deler gjennom (og husk at dividere av en gjensidig er den samme som å multiplisere med bare nevner) for å integrere med hensyn til deg: int x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / avbryt (sqrt (2x-1)) avbryt (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Nå er alt vi trenger å gjøre, uttrykk x ^ 2 n&

Hva er integralet av int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-lN (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Først erstatter vi: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = 2e ^ (2x)) Intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) Du = Intsqrt (u) / (2 (u-1)) Du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) andre substitusjon: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) (v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Nå har vi: -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / ) + 1 / (2

Hva er integralet av int tan ^ 4x dx?

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C Løsning av trig antiderivativer innebærer vanligvis å bryte integralet ned for å anvende Pythagorean Identities, og de bruker en u-substitusjon. Det er akkurat det vi skal gjøre her. Begynn med å skrive inn igjen ^ 4xdx som inttan ^ 2xtan ^ 2xdx. Nå kan vi bruke Pythagorean Identity tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x, eller tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx Fordeling av tan ^ 2x : farge (hvit) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx Bruke sumregeln: farge (hvit) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx Vi vurderer disse integralene