Hva er integralet av int tan ^ 4x dx?

Svar:

# (Tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Forklaring:

Løsning av trig antiderivativer involverer vanligvis å bryte integralet ned for å bruke Pythagorean Identities, og de bruker en # U #-substitution. Det er akkurat det vi skal gjøre her.

Begynn med å skrive om # Inttan ^ 4xdx # som # Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Nå kan vi bruke den pythagoranske identiteten # Tan ^ 2x + 1 = s ^ 2x #, eller # Tan ^ 2x = si ^ 2x-1 #:

# Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sek ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Distribuere # Tan ^ 2x #:

#COLOR (hvit) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xtan ^ 2xdx #

Bruk av sumregelen:

#COLOR (hvit) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Vi vurderer disse integralene en etter én.

Første integrert

Denne løses ved hjelp av a # U #-substitution:

La # U = tanx #

# (Du) / dx = sek ^ 2x #

# Du = sek ^ 2xdx #

Bruk av substitusjonen, #COLOR (hvit) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = Intu ^ 2DU #

#COLOR (hvit) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Fordi # U = tanx #, # Intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Andre Integral

Siden vi egentlig ikke vet hva # Inttan ^ 2xdx # er ved å bare se på det, prøv å bruke # Tan ^ 2 = s ^ 2x-1 # identitet igjen:

# Inttan ^ 2xdx = int (sek ^ 2x-1) dx #

Ved hjelp av sumregelen koker integralet ned til:

# Intsec ^ 2xdx-int1dx #

Den første av disse, # Intsec ^ 2xdx #, er bare # Tanx + C #. Den andre, den såkalte "perfekte integral", er ganske enkelt # X + C #. Når vi setter det sammen, kan vi si:

# Inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

Og fordi # C + C # er bare en annen vilkårlig konstant, vi kan kombinere den til en generell konstant # C #:

# Inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Kombinere de to resultatene har vi:

# Inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Igjen, fordi # C + C # er en konstant, vi kan bli med dem i en # C #.

Hva er integralet av int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Vårt store problem i dette integralet er roten, så vi vil bli kvitt den. Vi kan gjøre dette ved å introdusere en substitusjon u = sqrt (2x-1). Derivatet er da (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Så vi deler gjennom (og husk at dividere av en gjensidig er den samme som å multiplisere med bare nevner) for å integrere med hensyn til deg: int x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / avbryt (sqrt (2x-1)) avbryt (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Nå er alt vi trenger å gjøre, uttrykk x ^ 2 n&

Hva er integralet av int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-lN (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Først erstatter vi: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = 2e ^ (2x)) Intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) Du = Intsqrt (u) / (2 (u-1)) Du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) andre substitusjon: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) (v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Nå har vi: -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / ) + 1 / (2

Hva er integralet av int tan ^ 5 (x)?

(x) (x) + ln | sec (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) Å vite at tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, kan vi omskrive det som int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx, som gir int sek ^ 3 (x) sek (x) tan (x) dx-2int sek ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx Første integral: La u = sec (x) -> du = sek (x) tan (x) dx For det andre er det integral: La u = sek (x) -> du = sek (x) tan (x) dx Derfor int du ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx Også Legg merke til at int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, og gir oss dermed 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Hvis du erstatter uttrykket tilbake, gi