Hvordan løser du systemet x ^ 2 + y ^ 2 = 9 og x-3y = 3?

Svar:

Det er to løsninger på dette systemet: poengene #(3,0)# og #(-12/5, -9/5)#.

Forklaring:

Dette er et interessant system av ligninger problem fordi det gir mer enn en løsning per variabel.

Hvorfor dette skjer er noe vi kan analysere akkurat nå. Den første ligningen er standardskjemaet for en sirkel med radius #3#. Den andre er en litt rotete ligning for en linje. Ryddet opp, det ville se slik ut:

#y = 1/3 x - 1 #

Så naturlig hvis vi vurderer at en løsning på dette systemet vil være et punkt der linjen og sirkelen skjærer, bør vi ikke bli overrasket over at det skal være to løsninger. En når linjen kommer inn i sirkelen, og en annen når den går. Se denne grafen:

graf {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Først begynner vi å manipulere den andre ligningen:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Vi kan sette dette inn direkte i den første ligningen for å løse for # Y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Denne ligningen har åpenbart to løsninger. En for #y = 0 # og en annen for # 9 + 5y = 0 # som betyr #y = -9 / 5 #.

Nå kan vi løse for # X # på hver av disse # Y # verdier.

Hvis # Y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Hvis #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Så våre to løsninger er poengene: #(3,0)# og #(-12/5, -9/5)#. Hvis du ser tilbake til grafen, kan du se at disse klart samsvarer med de to punktene som linjen krysset sirkelen over.