Hva er den lokale ekstremmen av f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5)?

Svar:

#f (x) # har et lokalt maksimum på #approx (0.1032, 15.0510) #

#f (x) # har et lokalt minimum på #approx (3.2301, -0.2362) #

Forklaring:

#f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) #

Bruk produktregel.

# x (x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5)

Påfør strømregel.

#f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) #

# = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 #

# = 3x ^ 2-10x + 1 #

For lokal ekstrem #f '(x) = 0 #

Derfor # 3x ^ 2-10x + 1 = 0 #

Påfør kvadratisk formel.

# x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) #

# = (10 + -sqrt (88)) / 6 #

# ca 3.2301 eller 0.1032 #

#f '' (x) = 6x-10 #

For lokal maksimum #f '' <0 # på ekstremt punkt.

For lokal minimum #f ''> 0 # på ekstremt punkt.

testing #f '' (3.2301)> 0 -> f (3.2301) = f_min #

testing #f '' (0.1032) <0 -> f (0.1032) = f_max #

Derfor #f_max ca (0,1032-3) (0,1032 ^ 2-2 * 0,1032-5) #

#approx 15.0510 #

Og, #f_min ca (3,2301-3) (3,2301 ^ 2-2 * 3,2301-5) #

#approx -0.2362 #

#:. f (x) # har et lokalt maksimum på #approx (0.1032, 15.0510) #

# og f (x) # har et lokalt minimum på #approx (3.2301, -0.2362) #

Vi kan se disse lokale ekstremene ved å zoome til de aktuelle punktene i grafen til #f (x) # under.

graf {(x-3) (x ^ 2-2x-5) -29.02, 28,72, -6,2, 22,63}