Hva er derivatet av x ^ x?

Svar:

# Dy / dx = x ^ x (ln (x) 1) #

Forklaring:

Vi har:

# Y = x ^ x # La oss ta den naturlige loggen på begge sider.

#ln (y) = ln (x ^ x) # Bruke det faktum at #log_a (b ^ c) = clog_a (b) #, # => Ln (y) = XLN (x) # Søke om # D / dx # på begge sider.

# => D / dx (ln (y)) = d / dx (XLN (x)) #

Kjederegelen:

Hvis #f (x) = g (h (x)) #, deretter #f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) #

Strømregel:

# D / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) # hvis # N # er en konstant.

Også, # D / dx (lnx) = 1 / x #

Til slutt, produktregelen:

Hvis #f (x) = g (x) * h (x) #, deretter #f '(x) = g' (x) * h (x) + g (x) * h '(x) #

Vi har:

# => Dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) #

# => Dy / dx * 1 / y = 1 * ln (x) + x * 1 / x #

# => Dy / dx * 1 / y = ln (x) + cancelx * 1 / # cancelx

(Ikke bekymre deg når # X = 0 #, fordi #ln (0) # er udefinert)

# => Dy / dx * 1 / y = ln (x) + 1 #

# => Dy / dx = y (ln (x) 1) #

Nå siden # Y = x ^ x #, kan vi erstatte # Y #.

# => Dy / dx = x ^ x (ln (x) 1) #