Forholdet mellom to positive reelle tall er p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2) og deretter finne deres forhold mellom AM og GM?

Svar:

# p / q #.

Forklaring:

La nos. være #x og y, "hvor, x, y" i RR ^ + #.

Av det som er gitt, #X: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)):(p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "si".

#:. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) og y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Nå, den ER #EN# av # x, y # er, # A = (x + y) / 2 = lambdap #, og deres

GM # G = sqrt (xy) = sqrt lambda ^ 2 {p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)} = lambdaq #.

Helt klart, # "Ønsket forhold" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

Svar:

# P / q #

Forklaring:

Jeg skal bruke samme notasjon som i dette svaret. Faktisk er det ingen reell nødvendighet av denne løsningen (da problemet allerede har blitt løst ganske pent) - bortsett fra at det illustrerer bruken av en teknikk jeg elsker veldig mye!

Ifølge problemet

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

Ved hjelp av componendo og dividendo (dette er favoritt teknikken jeg fremhevet til ovenfor) får vi

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) innebærer #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) innebærer #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) innebærer #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 innebærer #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• som er det nødvendige AM: GM-forholdet.